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标 ※ 的是考题，没有标的希望之后你们好好看看。

※ Example 1 风险溢价之谜

下面仅考查居民端的行为，经济中存在两种资产，一种是无风险资产 $A_t^f$，其利率 $R_t^f$ 为确定值；另一种是风险资产 $A_t$，其利率为 $R_t$，$\{R_t\}$ 是一个随机过程。居民的劳动收入为 $W_t{N}_t$，居民效用形式如下：

$${\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k})$$

居民面临的预算约束如下：

$$C_{t+k}+A_{t+k+1}+A_{t+k+1}^f=R_{t+k}^f{A}_{t+k}^f+R_{t+k}{A}_{t+k}+W_{t+k}{N}_{t+k}+T_t$$

求解以下问题：

（1） 写出居民的值函数问题。

解：

$$\begin{array}{rl}V(A_t,A_t^f)\stackrel{\mathrm{△}}{=}\underset{C_{t+k},A_{t+k+1},A_{t+k+1}^f}{max}& {\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k})\\ & \text{s.t.}{C}_{t+k}+A_{t+k+1}+A_{t+k+1}^f=R_{t+k}^f{A}_{t+k}^f+R_{t+k}{A}_{t+k}+W_{t+k}{N}_{t+k}+T_t\end{array}$$$$\begin{array}{rl}V(A_t,A_t^f)=\underset{C_t,A_{t+1},A_{t+1}^f}{max}& u(C_t)+\beta {\mathbb{E}}_{t}V(A_{t+1},A_{t+1}^f)\\ & \text{s.t.}{C}_t+A_{t+1}+A_{t+1}^f=R_t^f{A}_t^f+R_t{A}_t+W_t{N}_t+T_t\end{array}$$$$\begin{array}{rl}V(A_t,A_t^f)=\underset{C_t,A_{t+1},A_{t+1}^f}{max}& u(C_t)+\beta {\mathbb{E}}_{t}V(A_{t+1},A_{t+1}^f)\\ & -{\lambda }_t(C_t+A_{t+1}+A_{t+1}^f-R_t^f{A}_t^f-R_t{A}_t-W_t{N}_t-T_t)\end{array}$$

（2） 求解居民的 Euler 方程。

解：

对 $C_t$ 求导

$$\begin{array}{}\text{(1)}& u^{\prime }(C_t)-{\lambda }_t=0\end{array}$$

对 $A_{t+1}$ 求导

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \beta {\mathbb{E}}_t\frac{\partial V}{\partial A}(A_{t+1},A_{t+1}^f)={\lambda }_t\end{array}$$

对 $A_{t+1}^f$ 求导

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \beta {\mathbb{E}}_t\frac{\partial V}{\partial A^f}(A_{t+1},A_{t+1}^f)={\lambda }_t\end{array}$$

对 $A_t$ 使用包络定理

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{\partial V}{\partial A}(A_t,A_t^f)={\lambda }_t{R}_t\end{array}$$

对 $A_t^f$ 使用包络定理

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{\partial V}{\partial A^f}(A_t,A_t^f)={\lambda }_t{R}_t^f\end{array}$$

(i) 对 (4) 延后一期得

$$\frac{\partial V}{\partial A}(A_{t+1},A_{t+1}^f)={\lambda }_{t+1}{R}_{t+1}=u^{\prime }(C_{t+1})R_{t+1}$$

代入 (2) 式可得

$$\beta {\mathbb{E}}_t{u}^{\prime }(C_{t+1})R_{t+1}={\lambda }_t=u^{\prime }(C_t)$$$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}{R}_{t+1}=1$$

(ii) 对 (5) 延后一期得

$$\frac{\partial V}{\partial A^f}(A_{t+1},A_{t+1}^f)={\lambda }_{t+1}{R}_{t+1}^f=u^{\prime }(C_{t+1})R_{t+1}^f$$

代入 (3) 式可得

$$\beta {\mathbb{E}}_t{u}^{\prime }(C_{t+1})R_{t+1}^f={\lambda }_t=u^{\prime }(C_t)$$$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}{R}_{t+1}^f=1$$$$\begin{array}{}\text{(6)}& \{\begin{array}{l}{\mathbb{E}}_t\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}{R}_{t+1}=1\\ {\mathbb{E}}_t\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}{R}_{t+1}^f=1\end{array}\end{array}$$

（3） 令 $R_{t+1}^e=R_{t+1}-R_{t+1}^f$ 为风险超额收益，令 $M_{t,t+1}=\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}$，求关于 ${\mathbb{E}}_t(R_{t+1}^e)$ 的表示。

解：

由 (6) 两式相减可得

$${\mathbb{E}}_t{M}_{t,t+1}{R}_{t+1}^e=0$$

因为

$$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$$

令 $X=M_{t,t+1},Y=R_{t+1}^e$ 可得

$${\text{Cov}}_t(M_{t,t+1},R_{t+1}^e)={\mathbb{E}}_t[M_{t,t+1}{R}_{t+1}^e]-{\mathbb{E}}_t[M_{t,t+1}]{\mathbb{E}}_t[R_{t+1}^e]$$$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\mathbb{E}}_t[R_{t+1}^e]=-\frac{{\text{Cov}}_t(M_{t,t+1},R_{t+1}^e)}{{\mathbb{E}}_t[M_{t,t+1}]}\end{array}$$

（4） 令 ${\hat{c}}_t=\frac{C_{t+1}-C_t}{C_t}$，若 ${\text{Cov}}_t[u^{\prime }(C_{t+1}),R_{t+1}^e]={\text{Cov}}_t({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)\times {\mathbb{E}}_t{u}^{″}(C_{t+1})C_{t+1}$，且 $u(C)=\frac{C^{1-\sigma }-1}{1-\sigma }$。求 ${\mathbb{E}}_t[R_{t+1}^e]$ 与 $\text{Cov}({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)$ 的关系。

解：

$${\text{Cov}}_t(M_{t,t+1},R_{t+1}^e)={\text{Cov}}_t[\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)},R_{t+1}^e]$$

在时刻 $t$ $u^{\prime }(C_t)$ 与 $\beta$ 为常数，所以

$${\text{Cov}}_t(M_{t,t+1},R_{t+1}^e)=\frac{\beta }{u^{\prime }(C_t)}{\text{Cov}}_t[u^{\prime }(C_{t+1}),R_{t+1}^e]$$

代入 ${\text{Cov}}_t[u^{\prime }(C_{t+1}),R_{t+1}^e]={\text{Cov}}_t({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)\times {\mathbb{E}}_t{u}^{″}(C_{t+1})C_{t+1}$ 可得

$${\text{Cov}}_t(M_{t,t+1},R_{t+1}^e)={\text{Cov}}_t({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)\times {\mathbb{E}}_t\frac{\beta u^{″}(C_{t+1})C_{t+1}}{u^{\prime }(C_t)}$$

代入 (7) 可得

$$\begin{array}{rl}{\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}^e& =-\frac{{\text{Cov}}_t({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)\times {\mathbb{E}}_t\frac{\beta u^{″}(C_{t+1})C_{t+1}}{u^{\prime }(C_t)}}{{\mathbb{E}}_t\beta u^{\prime }(C_{t+1})/u^{\prime }(C_t)}\\ & =-\frac{{\mathbb{E}}_t{u}^{″}(C_{t+1})C_{t+1}}{{\mathbb{E}}_t{u}^{\prime }(C_{t+1})}{\text{Cov}}_t({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)\end{array}$$

因为 $u(C)=C^{1-\sigma }/(1-\sigma )$，可得 $u^{\prime }(C)=C^{-\sigma },u^{″}(C)=-\sigma C^{-\sigma -1}$，可得

$${\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}^e=\sigma {\text{Cov}}_t({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)$$

（5） 若 $\text{Cov}({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)>0$，且 $\text{Var}({\hat{c}}_{t+1})=0.9\mathrm{\%}$，$\text{Var}(R_{t+1}^e)=0.1\mathrm{\%}$，而 ${\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}^e=6\mathrm{\%}$。问 $\sigma$ 至少要多大？

解：

$$|\text{Cov}({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)|\le \sqrt{\text{Var}({\hat{c}}_{t+1})\text{Var}(R_{t+1}^e)}=0.3\mathrm{\%}$$$$0<\text{Cov}({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)<0.3\mathrm{\%}$$$$\sigma =\frac{{\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}^e}{\text{Cov}(R_{t+1},{\hat{c}}_{t+1})}>\frac{6\mathrm{\%}}{0.3\mathrm{\%}}=20$$

至少要20

（6） 从微观实证获得， $\sigma \le 10$，结合第五问说明何为风险溢价之谜。

解： 微观获得的跨期替代弹性不足以解释宏观中的风险波动。

※ Example 2 风险溢价之谜（部分修正）

下面仅考查居民端的行为，经济中存在两种资产，一种是无风险资产 $A_t^f$，其利率 $R_t^f$ 为确定值；另一种是风险资产 $A_t$，其利率为 $R_t$，$\{R_t\}$ 是一个随机过程。居民的劳动收入为 $W_t{N}_t$，居民效用形式如下：

$${\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k},X_{t+k})$$

其中 $X_{t+k}$ 为一个外生的序列。

居民面临的预算约束如下：

$$C_{t+k}+A_{t+k+1}+A_{t+k+1}^f=R_{t+k}^f{A}_{t+k}^f+R_{t+k}{A}_{t+k}+W_{t+k}{N}_{t+k}+T_t$$

求解以下问题：

（1） 写出居民的值函数问题。

解：

$$\begin{array}{rl}V(A_t,A_t^f)\stackrel{\mathrm{△}}{=}\underset{C_{t+k},A_{t+k+1},A_{t+k+1}^f}{max}& {\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k},X_{t+k})\\ & \text{s.t.}{C}_{t+k}+A_{t+k+1}+A_{t+k+1}^f=R_{t+k}^f{A}_{t+k}^f+R_{t+k}{A}_{t+k}+W_{t+k}{N}_{t+k}+T_t\end{array}$$$$\begin{array}{rl}V(A_t,A_t^f)=\underset{C_t,A_{t+1},A_{t+1}^f}{max}& u(C_t,X_t)+\beta {\mathbb{E}}_{t}V(A_{t+1},A_{t+1}^f)\\ & \text{s.t.}{C}_t+A_{t+1}+A_{t+1}^f=R_t^f{A}_t^f+R_t{A}_t+W_t{N}_t+T_t\end{array}$$$$\begin{array}{rl}V(A_t,A_t^f)=\underset{C_t,A_{t+1},A_{t+1}^f}{max}& u(C_t,X_t)+\beta {\mathbb{E}}_{t}V(A_{t+1},A_{t+1}^f)\\ & -{\lambda }_t(C_t+A_{t+1}+A_{t+1}^f-R_t^f{A}_t^f-R_t{A}_t-W_t{N}_t-T_t)\end{array}$$

（2） 求解居民的 Euler 方程。

解：

对 $C_t$ 求导

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\partial u}{\partial C_t}(C_t,X_t)={\lambda }_t\end{array}$$

对 $A_{t+1}$ 求导

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \beta {\mathbb{E}}_t\frac{\partial V}{\partial A}(A_{t+1},A_{t+1}^f)={\lambda }_t\end{array}$$

对 $A_{t+1}^f$ 求导

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \beta {\mathbb{E}}_t\frac{\partial V}{\partial A^f}(A_{t+1},A_{t+1}^f)={\lambda }_t\end{array}$$

对 $A_t$ 使用包络定理

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \frac{\partial V}{\partial A}(A_t,A_t^f)={\lambda }_t{R}_t\end{array}$$

对 $A_t^f$ 使用包络定理

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \frac{\partial V}{\partial A^f}(A_t,A_t^f)={\lambda }_t{R}_t^f\end{array}$$

(i) 对 (4) 延后一期得

$$\frac{\partial V}{\partial A}(A_{t+1},A_{t+1}^f)={\lambda }_{t+1}{R}_{t+1}=\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1})R_{t+1}$$

代入 (2) 式可得

$$\beta {\mathbb{E}}_t\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1})R_{t+1}={\lambda }_t=\frac{\partial u}{\partial C_t}(C_t,X_t)$$$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1})}{\frac{\partial u}{\partial C_t}(C_t,X_t)}{R}_{t+1}=1$$

(ii) 对 (5) 延后一期得

$$\frac{\partial V}{\partial A^f}(A_{t+1},A_{t+1}^f)={\lambda }_{t+1}{R}_{t+1}^f=\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1})R_{t+1}^f$$

代入 (3) 式可得

$$\beta {\mathbb{E}}_t\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1})R_{t+1}^f={\lambda }_t=\frac{\partial u}{\partial C_t}(C_t,X_t)$$$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1})}{\frac{\partial u}{\partial C_t}(C_t,X_t)}{R}_{t+1}^f=1$$$$\begin{array}{}\text{(6)}& \{\begin{array}{l}{\mathbb{E}}_t\beta \frac{\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1})}{\frac{\partial u}{\partial C_t}(C_t,X_t)}{R}_{t+1}=1\\ {\mathbb{E}}_t\beta \frac{\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1})}{\frac{\partial u}{\partial C_t}(C_t,X_t)}{R}_{t+1}^f=1\end{array}\end{array}$$

（3） 令 $R_{t+1}^e=R_{t+1}-R_{t+1}^f$ 为风险超额收益，令 $M_{t,t+1}=\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}$，求关于 ${\mathbb{E}}_t(R_{t+1}^e)$ 的表示。

解：

由 (6) 两式相减可得

$${\mathbb{E}}_t{M}_{t,t+1}{R}_{t+1}^e=0$$

因为

$$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$$

令 $X=M_{t,t+1},Y=R_{t+1}^e$ 可得

$${\text{Cov}}_t(M_{t,t+1},R_{t+1}^e)={\mathbb{E}}_t[M_{t,t+1}{R}_{t+1}^e]-{\mathbb{E}}_t[M_{t,t+1}]{\mathbb{E}}_t[R_{t+1}^e]$$$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\mathbb{E}}_t[R_{t+1}^e]=-\frac{{\text{Cov}}_t(M_{t,t+1},R_{t+1}^e)}{{\mathbb{E}}_t[M_{t,t+1}]}\end{array}$$

（4） 令 ${\hat{c}}_t=\frac{C_{t+1}-C_t}{C_t}$，若

$$\begin{array}{rl}& {\text{Cov}}_t[\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1}),R_{t+1}^e]\\ & ={\text{Cov}}_t({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)\times {\mathbb{E}}_t\frac{{\partial }^{2}u/\partial C^2(C_{t+1},X_{t+1})C_{t+1}}{\partial u/\partial C(C_{t+1},X_{t+1})}\times {\mathbb{E}}_t\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1})\end{array}$$

求 ${\mathbb{E}}_t[R_{t+1}^e]$ 与 $\text{Cov}({\hat{c}}_t,R_{t+1}^e)$ 的关系。

解：

$$\begin{array}{rl}& {\text{Cov}}_t(M_{t,t+1},R_{t+1}^e)\\ & ={\text{Cov}}_t[\beta \frac{u_C(C_{t+1},X_{t+1})}{u_C(C_t,X_t)},R_{t+1}^e]\\ & =\frac{\beta }{\partial u(C_t,X_t)/\partial C}{\text{Cov}}_t[\frac{\partial u}{\partial C}(C_{t+1},X_{t+1}),R_{t+1}^e]\\ & =\underset{{\mathbb{E}}_t{M}_{t,t+1}}{\underbrace{\beta {\mathbb{E}}_t\frac{\partial u(C_{t+1},X_{t+1})/\partial C}{\partial u(C_t,X_t)/\partial C}}}{\text{Cov}}_t({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e){\mathbb{E}}_t\frac{{\partial }^{2}u/\partial C^2(C_{t+1},X_{t+1})C_{t+1}}{\partial u/\partial C(C_{t+1},X_{t+1})}\end{array}$$

代入 (7) 可得

$${\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}^e=-{\mathbb{E}}_t\frac{u_{CC}(C_{t+1},X_{t+1})C_{t+1}}{u_C(C_{t+1},X_{t+1})}\times {\text{Cov}}_t({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1}^e)$$

（5） 令 $u(C_t,X_t)=\frac{(C_t-X_t{)}^{1-\sigma }}{1-\sigma },X_t\ge 0$。已知 ${\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}^e>0$，${\text{Cov}}_t(R_{t+1}^e,{\hat{c}}_{t+1})>0$。求解随着 $X_{t+1}$ 增大，$\sigma$ 会怎样变化？

解：

$$u_C=(C_t-X_t{)}^{-\sigma }$$$$u_{CC}=-\sigma (C_t-X_t{)}^{-\sigma -1}$$$${\mathbb{E}}_t\frac{u_{CC}(C_{t+1},X_{t+1})}{u_C(C_{t+1},X_{t+1})}=-\sigma {\mathbb{E}}_t\frac{C_{t+1}}{C_{t+1}-X_{t+1}}$$$$\sigma =\frac{{\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}^e}{{\text{Cov}}_t(R_{t+1}^e,{\hat{c}}_{t+1})}\frac{1}{{\mathbb{E}}_t\frac{C_{t+1}}{C_{t+1}-X_{t+1}}}$$

当 $X_{t+1}$ 上升，$\sigma$ 下降。

（6） 令 $S_t=\frac{C_t-X_t}{C_t}$，问 $M_{t,t+1}=\beta \frac{u_C(C_{t+1},X_{t+1})}{u_C(C_t,X_t)}$ 在 $u=\frac{(C_t-X_t{)}^{1-\sigma }}{1-\sigma }$ 时如何表示为 $C_{t+1}/C_t$ 与 $S_{t+1}/S_t$ 的方程。

解：

$$\begin{array}{rl}{M}_{t,t+1}& =\beta \frac{(C_{t+1}-X_{t+1}{)}^{-\sigma }}{(C_t-X_t{)}^{-\sigma }}\\ & =\beta {\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)}^{-\sigma }{\left(\frac{(C_{t+1}-X_{t+1})/C_{t+1}}{(C_t-X_t)/C_t}\right)}^{-\sigma }\\ & =\beta {\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)}^{-\sigma }{\left(\frac{S_{t+1}}{S_t}\right)}^{-\sigma }\end{array}$$

Example 3 Epstein-Zin 效用

已知居民效用形式如下

$$\begin{array}{rl}V(A_t,A_t^f)=\underset{C_t,A_{t+1}^f,A_{t+1}}{max}& {\{(1-\beta )C_t^{1-\sigma }+\beta {[{\mathbb{E}}_{t}V(A_{t+1},A_{t+1}^f{)}^{1-r}]}^{\frac{1-\sigma }{1-r}}\}}^{\frac{1}{1-\sigma }}\\ & \text{s.t.}{C}_t+A_{t+1}+A_{t+1}^f=R_t{A}_t+R_t^f{A}_t^f+W_t{N}_t+T_t\end{array}$$

(1) 获取欧拉方程。

(2) 问 $M_{t,t+1}$ 与 $R_{t+1}^e$ 的关系。

(3) 分析财富所对应的居民实际财富的利率 $R_{t+1}^w$。

(4) 分析 $r$ 的含义，并说明引入 $r\ne \sigma$ 对标准情况 ($r=\sigma$) 的偏离，有什么作用。

(5) 分析此时的 ${\tilde{r}}_{t+1}^w$ 与 ${\tilde{m}}_{t+1}$。

Example 4 异质性收入——私有信息

若经济中有 $H$ 个居民，对$i=1,\dots ,H$ 的居民，其目标为

$$\begin{gathered} max{\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^k\frac{C_{t,t+k}^{1-\sigma }-1}{1-\sigma } \\ \text{s.t.}{W}_{i,t+k+1}=R_{t+k+1}(W_{i,t+k}-C_{i,t+k}) \end{gathered}$$

(1) 求居民 $i$ 的随机贴现因子 $M_{t+1}^i$ 以及对应的欧拉方程。

(2) 求 $R_{t+1}$ 的表示。

※ Example 5 无风险利率之谜

已知 $M_{t,t+1}$ 是随机贴现因子，$R_{t+1}-R_{t+1}^f=R_{t+1}^e$，且 ${\mathbb{E}}_t{M}_{t,t+1}{R}_{t+1}^f=1$，${\mathbb{E}}_t{M}_{t,t+1}{R}_{t+1}^e=0$。

（1） 用 $\text{Cov}(M_{t,t+1},R_{t+1})$ 表示 ${\mathbb{E}}_t\frac{R_{t+1}-R_{t+1}^f}{R_{t+1}^f}$。

解：

$${\mathbb{E}}_t{M}_{t,t+1}{R}_{t+1}^e=0$$$$\text{Cov}(M_{t,t+1},R_{t+1}^e)+{\mathbb{E}}_t{M}_{t,t+1}\times {\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}^e=0$$$$\frac{1}{R_{t+1}^f}{\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}^e=-\text{Cov}(M_{t,t+1},R_{t+1}^e)=-\text{Cov}(M_{t,t+1},R_{t+1}-R_{t+1}^f)=-\text{Cov}(M_{t,t+1},R_{t+1})$$$${\mathbb{E}}_t\frac{R_{t+1}-R_{t+1}^f}{R_{t+1}^f}=-\text{Cov}(M_{t,t+1},R_{t+1})$$

（2） 若 $M_{t,t+1}=\beta {\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)}^{-\sigma }$，令 $\delta =\frac{1}{\beta }-1$，${\hat{c}}_{t+1}=\frac{C_{t+1}-C_t}{C_t}$，有 $\mu ={\mathbb{E}}_t{\hat{c}}_t$， ${\sigma }_c^2=\text{Var}({\hat{c}}_{t+1})$，${\sigma }_R^2=\text{Var}(R_{t+1})$，$\rho =\text{Corr}({\hat{c}}_{t+1},R_t)$。求 $R_{t+1}^f$ 与 ${\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}$ 的近似表达。

解：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& R_{t+1}^f=\frac{1}{{\mathbb{E}}_t{M}_{t,t+1}}=\frac{1}{\beta }\frac{1}{{\mathbb{E}}_t{(\frac{C_{t+1}-Ct}{C_t}+1)}^{-\sigma }}=(1+\delta )\times \frac{1}{{\mathbb{E}}_t{(1+{\hat{c}}_{t+1})}^{-\sigma }}\end{array}$$

应用二阶泰勒展开，可得

$$\begin{array}{rl}(1+{\hat{c}}_{t+1}{)}^{-\sigma }& =[1+\mu +({\hat{c}}_{t+1}-\mu ){]}^{-\sigma }\cong 1-\sigma {\hat{c}}_{t+1}+\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}({\hat{c}}_{t+1}-\mu +\mu {)}^2\\ & =1-\sigma {\hat{c}}_{t+1}+\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{({\hat{c}}_{t+1}-\mu )}^2+\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\mu }^2+\sigma (\sigma +1)\mu ({\hat{c}}_{t+1}-\mu )\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\mathbb{E}}_t{(1+{\hat{c}}_{t+1})}^{-\sigma }& \cong {\mathbb{E}}_t[1-\sigma {\hat{c}}_{t+1}+\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{({\hat{c}}_{t+1}-\mu )}^2+\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\mu }^2+(\sigma +1)\sigma ({\hat{c}}_{t+1}-\mu )]\\ & =1-\sigma \mu +\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\sigma }_c^2+\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\mu }^2\end{array}$$

因为 $\mu$ 很低，我们可以忽略 ${\mu }^2$ 项。

$${\mathbb{E}}_t{(1+{\hat{c}}_{t+1})}^{-\sigma }\approx 1-\sigma \mu +\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\sigma }_c^2$$

代入 (1) 式可得

$$\begin{array}{rl}{R}_{t+1}^f& =(1+\delta )\times \frac{1}{{\mathbb{E}}_t{(1+{\hat{c}}_{t+1})}^{-\sigma }}\\ & \approx (1+\delta )\frac{1}{1-\sigma \mu +\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\sigma }_c^2}\\ & \approx 1+\delta +\sigma \mu -\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\sigma }_c^2+\delta (\sigma \mu -\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\sigma }_c^2)\end{array}$$

因为 $\delta$ 很小，所以 $\delta (\sigma \mu -\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\sigma }_c^2)$ 可忽略，近似得到

$$R_{t+1}^f\approx 1+\delta +\sigma \mu -\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\sigma }_c^2$$$${\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}=R_{t+1}^f-R_{t+1}^f\mathrm{Cov}(M_{t,t+1},R_{t+1})=R_{t+1}^f-\mathrm{Cov}(R_{t+1}^f{M}_{t,t+1},R_{t+1})$$$$\begin{array}{rl}{R}_{t+1}^f{M}_{t,t+1}& \approx (1+\delta )M_{t,t+1}+(\sigma \mu -\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\sigma }_c^2)M_{t,t+1}\end{array}$$

因为 $(1+\delta )=1/\beta$，以及第二项足够小可忽略，我们可得

$$\begin{array}{rl}{R}_{t+1}^f{M}_{t,t+1}& \approx {(\frac{C_{t+1}-C_t}{C_t}+1)}^{-\sigma }=({\hat{c}}_{t+1}+1{)}^{-\sigma }\approx 1-\sigma {\hat{c}}_{t+1}\end{array}$$

从而可得

$$\mathrm{Cov}(R_{t+1}^f{M}_{t,t+1}{R}_{t+1})\approx -\sigma \mathrm{Cov}({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1})$$$${\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}\approx R_{t+1}^f+\sigma \mathrm{Cov}({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1})=R_{t+1}^f+\sigma \underset{\rho }{\mathrm{Corr}(R_{t+1},{\hat{c}}_{t+1})}\sqrt{\mathrm{Var}({\hat{c}}_{t+1})\mathrm{Var}(R_{t+1})}$$$$\begin{array}{rl}{\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}& \approx R_{t+1}^f+\sigma \mathrm{Cov}({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1})\\ & =R_{t+1}^f+\sigma \mathrm{Corr}(R_{t+1},{\hat{c}}_{t+1})\sqrt{\mathrm{Var}({\hat{c}}_{t+1})\mathrm{Var}(R_{t+1})}\\ & =R_{t+1}^f+\rho \sigma ({\sigma }_R{\sigma }_c)\end{array}$$

（3） 解释“风险溢价之谜”与“无风险利率之谜”

解：

$$R_{t+1}^f\approx 1+\delta +\sigma \mu -\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}\text{Var}({\hat{c}}_{t+1})$$$$\begin{array}{r}{\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}=R_{t+1}^f+\rho \sigma ({\sigma }_R{\sigma }_c)\end{array}$$

${\sigma }_R,{\sigma }_c,\rho ,\mu ,\delta$ 均可观测，但使 $R_{t+1}^f$ 和 ${\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}-R_{t+1}^f$ 与实际数据匹配的 $\sigma$，与微观数据并不匹配，即用宏观的贴现因子 $\delta$，消费增速 $\mu$，消费方差 ${\sigma }_C^2$ 与利率方差 ${\sigma }_R^2$ 和消费变化率 ${\hat{c}}_{t+1}$ 与 $R_{t+1}$ 的相关系数 $\rho$，配合实际的风险规避系数 $\sigma$， 并不足以解释资产的风险溢价水平和无风险利率水平。

实际上，对于无风险利率而言，$\delta \ge 0.5\mathrm{\%},\mu \ge 5\mathrm{\%},{\sigma }_c^2\le 1\mathrm{\%}$，而实际的无风险利率在 $1.03$ 左右，即

$$1.03\approx 1+0.5\mathrm{\%}+\sigma [5\mathrm{\%}-\frac{\sigma +1}{2}\times 1\mathrm{\%}]$$

可得

$$\sigma \approx \{\begin{array}{ll}0.8,& \text{ if }\sigma <1\\ 8,& \text{ if }\sigma >1\end{array}$$

而实际中 $\sigma$ 的微观值，表示风险规避时在 $1\sim 2$ 之间，和上述区间并不匹配，而对于风险溢价，Example 1 的第五问也指出微观值的不匹配。

（4） 若 $M_{t,t+1}=\beta {\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)}^{-\sigma }{\left(\frac{Z_{t+1}}{Z_t}\right)}^{-\eta }$，记 ${\hat{z}}_{t+1}=\frac{Z_{t+1}-Z_t}{Z_t},{\mu }_c={\mathbb{E}}_t{\hat{c}}_{t+1},{\mu }_z={\mathbb{E}}_t{\hat{z}}_{t+1},\mathrm{Var}({\hat{z}}_{t+1})={\sigma }_z^2,\mathrm{Var}({\hat{c}}_{t+1})={\sigma }_c^2,\mathrm{Var}(R_{t+1})={\sigma }_R^2,\mathrm{Corr}({\hat{z}}_{t+1},{\hat{c}}_{t+1})={\rho }_{zc},\mathrm{Corr}({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1})={\rho }_{cR}$。求 $R_{t+1}^f$ 和 ${\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}$ 的表达式。

解：

$$M_{t,t+1}=\frac{1}{1+\delta }(1+{\hat{c}}_{t+1}{)}^{-\sigma }(1+{\hat{z}}_{t+1}{)}^{-\eta }$$

其中

$$\begin{array}{rl}(1+{\hat{c}}_{t+1}{)}^{-\sigma }& \approx (1-\sigma {\hat{c}}_{t+1}+\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}({\hat{c}}_{t+1}{)}^2)\\ & \approx 1-\sigma {\hat{c}}_{t+1}+\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}[{\hat{c}}_{t+1}-{\mu }_c{]}^2\\ & \approx \frac{1}{1+\sigma {\hat{c}}_{t+1}-\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}[{\hat{c}}_{t+1}-{\mu }_c{]}^2}\end{array}$$$$(1+{\hat{z}}_{t+1}{)}^{-\eta }\approx \frac{1}{1+\eta {\hat{z}}_{t+1}-\frac{\eta (\eta +1)}{2}[{\hat{z}}_{t+1}-{\mu }_z{]}^2}$$

从而可以获得

$$M_{t,t+1}\approx \frac{1}{1+\delta +\sigma {\hat{c}}_{t+1}-\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}[{\hat{c}}_{t+1}-{\mu }_c{]}^2+\eta {\hat{z}}_{t+1}-\frac{\eta (\eta +1)}{2}[{\hat{z}}_{t+1}-{\mu }_z{]}^2+\sigma \eta [{\hat{z}}_{t+1}-{\mu }_z][{\hat{c}}_{t+1}-{\mu }_c]}$$ $$\begin{array}{}\text{(2)}& R_{t+1}^f\approx 1+\delta +\sigma {\mu }_c+\eta {\mu }_z-\frac{\sigma (\sigma +1)}{2}{\sigma }_c^2-\frac{\eta (\eta +1)}{2}{\sigma }_z^2+\sigma \eta {\rho }_{zc}{\sigma }_z{\sigma }_c\end{array}$$$${\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}\approx R_{t+1}^f-\mathrm{Cov}(\frac{M_{t,t+1}}{\beta },R_{t+1})$$$$\frac{M_{t,t+1}}{\beta }=(1+{\hat{c}}_{t+1}{)}^{-\sigma }(1+{\hat{z}}_{t+1}{)}^{-\eta }\approx 1-\sigma {\hat{c}}_{t+1}-\eta {\hat{z}}_{t+1}$$

从而获得

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}{\mathbb{E}}_t{R}_{t+1}& \approx R_{t+1}^f+\sigma \mathrm{Cov}({\hat{c}}_{t+1},R_{t+1})+\eta \mathrm{Cov}({\hat{z}}_{t+1},R_{t+1})\\ & =R_{t+1}^f+\sigma {\rho }_{cR}{\sigma }_R{\sigma }_c+\eta {\rho }_{zR}{\sigma }_z{\sigma }_R\end{array}\end{array}$$

从 (2) 和 (3) 可以看出，引入 $Z_{t+1}/Z_t$ 有利于缓解风险溢价之谜和无风险利率之谜。

（5） 由第四问可知，引入新的 $(Z_{t+1}/Z_t{)}^{\eta }$ 项有利于缓解风险溢价之谜与无风险利率之谜。请简述往往引入那些经济变量来获得 $Z_{t+1}/Z_t$。

解：

在以下积累情况，均可能较基准模型引入新的变量 $Z_{t+1}/Z_t$。

1. 消费习惯
2. 递归效用（如 Epstein-Zin）
3. 极端风险
4. 有限理性（理性疏忽或模糊优化是常见的两种）
5. 异质性的事前信息
6. 有个体差异性的劳动收入
7. 融资约束
8. 金融中介

Example 6 消费习惯

居民效用如下

$$\begin{array}{rl}& {\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k},C_{t+k-1})\\ & \text{s.t.}{C}_{t+k}+A_{t+k+1}=R_{t+k}{A}_{t+k}+W_{t+k}{N}_{t+k}\end{array}$$

(1) 求拉格朗日条件

(2) 求此时的 $M_{t,t+1}$

(3) 若 $u(C_t,C_{t-1})=(C_t-r{C}_{t-1}{)}^{1-\sigma }/(1-\sigma )$，问 $M_{t,t+1}$的表达式

(4) 结合题 2，说明其对分析风险溢价之谜的作用

(5) 结合 Example 5，说明此题中的 $Z_{t+1}$ 的表示

$$M_{t,t+1}=\beta {\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)}^{-\sigma }\frac{(1-r\frac{C_t}{C_{t+1}}{)}^{-\sigma }-r\beta {\mathbb{E}}_{t+1}{(\frac{C_{t+2}}{C_{t+1}}-r)}^{-\sigma }}{(1-r\frac{C_{t-1}}{C_t}{)}^{-\sigma }-r\beta {\mathbb{E}}_{t+1}{(\frac{C_{t+1}}{C_t}-r)}^{-\sigma }}$$

从而有

$$Z_t={(1-r\frac{C_{t-1}}{C_t})}^{-\sigma }-r\beta {\mathbb{E}}_{t+1}{(\frac{C_{t+1}}{C_t}-r)}^{-\sigma }$$$$Z_{t+1}={(1-r\frac{C_t}{C_{t+1}})}^{-\sigma }-r\beta {\mathbb{E}}_{t+1}{(\frac{C_{t+2}}{C_{t+1}}-r)}^{-\sigma }$$

Example 7 Stein Lemma 和应用

(1) 若 $X$ 是一个正态分布，对于 $g(x)$，若 $E[g(x)(x-\mu )]$ 与 $E{g}^{\prime }(x)$ 均存在，证明 $Eg(x)(x-\mu )={\sigma }^{2}E{g}^{\prime }(x)$。

(2) 对于联立正态分布 $X$ 与 $Y$，有 $\mathrm{Cov}(g(x),Y)=E{g}^{\prime }(x)(X,Y)$

(3) 已知 ${\mathbb{E}}_t{M}_{t,t+1}{R}_{t+1}^e=0$，其中 $R_{t+1}^e$ 服从正态分布，而 $M_{t,t+1}=\beta {\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)}^{-\sigma }$ ，$\ln C_{t+1}$ 服从正态分布，利用 Stein 引理，获得 ${\mathbb{E}}_t{r}_{t+1}^e=\sigma {\mathrm{Cov}}_t({\hat{c}}_{t+1},r_{t+1}^e)$

(4) 若 $\ln W_{t+1}-\ln W_t\simeq \frac{W_{t+1}-W_t}{W_t}=R_{t+1}-\frac{C_t}{W_t}$ 成立，即 $\ln W_{t+1}-\ln W_t=R_{t+1}-\frac{C_t}{W_t}$，此时若 $R_{t+1}$ 服从正态，有 $C_t/W_t$ 为常数时，该情形是否适用上面讲的情形？

Example 8 连续时间下的投资决策

$$\begin{array}{rl}\underset{\pi ,C}{max}& {\mathbb{E}}_t{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\rho s}\frac{C_{t+s}^{1-\sigma }}{1-\sigma }ds\\ & \text{s.t.}dW=\{[r^f+\pi (r-r^f)]W-C\}dt+\pi {\sigma }_{R}WdB\end{array}$$

Example 9 Epstein-Zin 的连续时间版本

※ 名词解释

1. 风险溢价之谜
2. 利率期限结构和期限溢价