讲义一

考试本学期分成四大块：（1）动态优化 （2）C-CAPM （3）RBC （4）NK

（1）有2~3个题 （2）有1个题 （3）有一个题 （4）有一个题

动态优化有三个知识点：（1） 对数线性化（重点） （2）线性差分方程组 （3）动态优化（重点）

动态优化

本节包含 3 个习题，必会三选一考查

Example 1

已知经济中有一个代表性居民，一个代表性厂商，在时刻 $t+k$ 时，居民的消费为 $C_{t+k}$，$\beta$ 为时间贴现因子，居民的贴现效用为

$${\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k})。$$

企业在时刻 $t$ 的技术水平为 $A_t$，生产函数为 $Y_t=A_{t}f(K_t,L_t)$，其中 $f(\cdot ,\cdot )$ 为 $K_t$ 和 $L_t$ 的一次齐次函数，$A_t$ 为随机变量，满足 $\ln A_{t+1}=\rho \ln A_t+{\epsilon }_t,0<\rho <1,{\epsilon }_t\sim N(0,{\sigma }^2)$ 。满足 $Y_t=C_t+I_t$，$K_{t+1}=(1-\delta )K_t+I_t$。

（1） 若中央计划者（政府）是个“仁慈”的政府，其目标是在技术约束下最大化居民效用，请写出政府的最大化问题。

解：

$$\begin{array}{rlrl}\underset{C_{t+k}}{max}& {\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k})& & \leftarrow \text{目标最大化居民效用}\\ & \text{s.t.}{Y}_t=C_t+I_t& & \leftarrow \text{会计等式}\\ & Y_t=A_{t}f(K_t,L_t)& & \leftarrow \text{生产技术边际}\\ & K_{t+1}=(1-\delta )K_t+I_t& & \leftarrow \text{资本形成}\\ & \ln A_{t+1}=\rho \ln A_t+{\epsilon }_t& & \leftarrow \text{技术冲击}\end{array}$$

（2） 写出（1）的值函数形式，并求出居民的最优条件。

解：

$$\begin{array}{rl}V(K_t,A_t)\stackrel{\mathrm{△}}{=}\underset{C_{t+k}}{max}& {\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k})\\ & \text{s.t.}{K}_{t+1}=A_{t}f(K_t,L_t)+(1-\delta )K_t-C_t\\ & \ln A_{t+1}=\rho \ln A_t+{\epsilon }_t\end{array}$$

可以获得

$$\begin{array}{rl}V(K_t,A_t)=\underset{C_t}{max}& u(C_t)+\beta {\mathbb{E}}_{t}V(K_{t+1},A_{t+1})\\ & \text{s.t.}{K}_{t+1}=A_{t}f(K_t,L_t)+(1-\delta )K_t-C_t\\ & \ln A_{t+1}=\rho \ln A_t+{\epsilon }_t\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\mathcal{L}}_t=& u(C_t)+\beta {\mathbb{E}}_{t}V(K_{t+1},A_{t+1})\\ & -{\lambda }_t[K_{t+1}+C_t-A_{t}f(K_t,L_t)-(1-\delta )K_t]\end{array}$$

对 $C_t$ 求导：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& u^{\prime }(C_t)={\lambda }_t\end{array}$$

对 $K_{t+1}$ 求导：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \beta {\mathbb{E}}_t\frac{\partial V}{\partial K}(K_{t+1},A_{t+1})={\lambda }_t\end{array}$$

对 $K_t$ 求偏导（包络）：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{\partial V}{\partial K}(K_t,A_t)={\lambda }_t[(1-\delta )+A_t\frac{\partial f}{\partial K}(K_t,L_t)]\end{array}$$

将 (3) 后延一期

$$\frac{\partial V}{\partial K}(K_{t+1},A_{t+1})={\lambda }_{t+1}[(1-\delta )+A_{t+1}\frac{\partial f}{\partial K}(K_{t+1},L_{t+1})]$$

代入 ${\lambda }_{t+1}=u^{\prime }(C_{t+1})$ 之后有

$$\frac{\partial V}{\partial K}(K_{t+1},A_{t+1})=u^{\prime }(C_{t+1})[(1-\delta )+A_{t+1}\frac{\partial f}{\partial K}(K_{t+1},L_{t+1})]$$

之后结合 (1) 代入 (2) 得

$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}[(1-\delta )+A_{t+1}\frac{\partial f}{\partial K}(K_{t+1},L_{t+1})]=1$$

上述方程被称为 Euler 方程，其中 $M_{t,t+1}=\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}$ 为随机贴现因子，$[(1-\delta )+A_{t+1}\frac{\partial f}{\partial K}(K_{t+1},L_{t+1})]$ 为跨期投资利率。

（3） 采用拉格朗日方法获得欧拉方程。

解：

$${\mathcal{L}}_t\stackrel{\mathrm{△}}{=}{\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^k\{u(C_{t+k}-{\tilde{\lambda }}_{t+k}[K_{t+k+1}-(1-\delta )K_{t+k}-A_{t+k}f(K_{t+k},L_{t+k})+C_{t+k}]\}$$

对 $C_t,K_{t+1}$ 求导可得

$$\begin{array}{}\text{(1)}& u^{\prime }(C_t)={\tilde{\lambda }}_t\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\tilde{\lambda }}_t=\beta {\mathbb{E}}_t{\tilde{\lambda }}_{t+1}[(1-\delta )+A_{t+1}\frac{\partial f}{\partial K_{t+1}}(K_{t+1},L_{t+1})]\end{array}$$

联立 (1)(2) 得

$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}[(1-\delta )+A_{t+1}\frac{\partial f}{\partial K}(K_{t+1},L_{t+1})]=1$$

（4） 若 $f(K_{t+1},L_{t+1})=(K_{t+1}{)}^{\alpha }(L_{t+1}{)}^{1-\alpha }$ 且 $L_{t+k}\equiv 1$ 对 $\mathrm{\forall }k$ 成立，且 $\delta =1$，同时 $u(C_t)=\ln C_t$。求此时的 $C_t$ 表示。

解：

$u(C_t)=\ln C_t$ 则 $u^{\prime }(C_t)=\frac{1}{C_t}$，代入欧拉方程之后得

$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{C_t}{C_{t+1}}[(1-\delta )+A_{t+1}\frac{\partial f}{\partial K}(K_{t+1},L_{t+1})]=1$$

由 $f(K_{t+1},L_{t+1})=(K_{t+1}{)}^{\alpha }(L_{t+1}{)}^{1-\alpha }$ 和 $L_{t+k}\equiv 1$ 可得

$$\frac{\partial f}{\partial K_{t+1}}=\alpha (K_{t+1}{)}^{\alpha -1}$$

将 $\delta =1$ 和上式代入欧拉方程可得

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\mathbb{E}}_t\alpha \beta \frac{C_t}{C_{t+1}}\frac{A_{t+1}{K}_{t+1}^{\alpha }}{K_{t+1}}=1\end{array}$$

将 $\delta =1$ 代入 $K_{t+1}=A_{t}f(K_t,L_t)+(1-\delta )K_t-C_t$ 可得

$$\begin{array}{}\text{(2)}& K_{t+1}=A_t{K}_t^{\alpha }-C_t\end{array}$$

结合 (1) (2)，猜测 $C_t=\tilde{\theta }{A}_t{K}_t^{\alpha }$，代入 (1) 中可得

$${\mathbb{E}}_t\alpha \beta \frac{\cancel{\tilde{\theta }}{A}_t{K}_t^{\alpha }}{\cancel{\tilde{\theta }}\cancel{A_{t+1}{K}_{t+1}^{\alpha }}}\frac{\cancel{A_{t+1}{K}_{t+1}^{\alpha }}}{K_{t+1}}=1$$$${\mathbb{E}}_t\alpha \beta \frac{A_t{K}_t^{\alpha }}{K_{t+1}}=1$$

由 (2) 和猜测式可得 $K_{t+1}=(1-\tilde{\theta })A_t{K}_t^{\alpha }$ 代入上式得

$$1-\tilde{\theta }=\alpha \beta$$

所以

$$\begin{gathered} C_t=(1-\alpha \beta )A_t{K}_t^{\alpha } \\ {K}_{t+1}=\alpha \beta A_t{K}_t^{\alpha } \end{gathered}$$

（5） 在第 4 问下写出资本和技术的变动方程。

资本

$$K_{t+1}=\alpha \beta A_t{K}_t^{\alpha }\Rightarrow \ln K_{t+1}=\alpha \ln K_t+\ln A_t+\ln (\alpha \beta )$$

技术

$$\ln A_{t+1}=\rho \ln A_t+{\epsilon }_t$$

Example 2 (Lucas 树)

已知经济中有一个居民，且有一棵果树。居民不从事生产，其希望的一切消费来自于果树的所得，每一期的消费为 $C_t$，而果树每一期会生产 $D_t$ 的果实，因此有 $D_t=C_t$ 为产品市场出清。果树的所有权供给记为 $X_t^s$，且其持有比例最大为 1，居民每一期期望的持有数为 $X_t$。居民的效用形式为

$${\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k})$$

居民的预算约束为：

$$X_{t+1}{P}_t+C_t=X_t(P_t+D_t)$$

其中 $D_t$ 为随机过程。

（1） 求解居民的欧拉方程

解：

方法 1：值函数法

$$\begin{array}{rl}V(X_t,D_t)=\underset{C_{t+k},X_{t+k+1}}{max}& {\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k})\\ & \text{s.t.}{X}_{t+1}{P}_t+C_t=X_t(P_t+D_t)\\ & X_t=X_t\end{array}$$$$\begin{array}{rl}V(X_t,D_t)=\underset{C_t,X_{t+1}}{max}& u(C_t)+{\mathbb{E}}_t\beta V(X_{t+1},D_{t+1})\\ & \text{s.t.}{X}_{t+1}{P}_t+C_t=X_t(P_t+D_t)\end{array}$$$${\mathcal{L}}_t=u(C_t)+{\mathbb{E}}_t\beta V(X_{t+1},D_{t+1})-{\lambda }_t[X_{t+1}{P}_t+C_t-X_t(P_t+D_t)]$$$$\begin{array}{}\text{(1)}& u^{\prime }(C_t)={\lambda }_t\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\mathbb{E}}_t\beta \frac{\partial V}{\partial X}(D_{t+1},X_{t+1})={\lambda }_t{P}_t\end{array}$$

包络定理

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{\partial V}{\partial X}(D_t,X_t)={\lambda }_t(D_t+P_t)\end{array}$$

将 (3) 后延一期并代入 ${\lambda }_{t+1}=u^{\prime }(C_{t+1})$ 有

$$\frac{\partial V}{\partial X}(D_{t+1},X_{t+1})=u^{\prime }(C_{t+1})(D_{t+1}+P_{t+1})$$

将上式和 (1) 代入 (2) 可得

$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}\frac{D_{t+1}+P_{t+1}}{P_t}=1$$

方法 2：拉格朗日方法

$${\mathcal{L}}_t\stackrel{\mathrm{△}}{=}{\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^k\{u(C_{t+k})-{\tilde{\lambda }}_{t+k}[C_{t+k}+P_{t+k}{X}_{t+k+1}-(P_{t+k}+D_{t+k})X_{t+k}]\}$$

对 $C_t$ 与 $X_{t+1}$ 求导

$$u^{\prime }(C_t)={\tilde{\lambda }}_t$$$${\tilde{\lambda }}_t{P}_t=\beta {\mathbb{E}}_t{\tilde{\lambda }}_{t+1}(P_{t+1}+D_{t+1})$$

联立可得

$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}\frac{D_{t+1}+P_{t+1}}{P_t}=1$$

（2） 定义 $M_{t,t+k}={\beta }^k\frac{u^{\prime }(C_{t+k})}{u^{\prime }(C_t)}$ 且令 $\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathbb{E}}_t{\beta }^k{u}^{\prime }(C_{t+k})P_{t+k}=0$，求 $P_t$ 的方程。

解：

$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}(D_{t+1}+P_{t+1})=P_t$$

后延一期

$$P_{t+1}={\mathbb{E}}_{t+1}\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+2})}{u^{\prime }(C_{t+1})}(D_{t+2}+P_{t+2})$$$${\mathbb{E}}_t\beta \frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}{P}_{t+1}={\mathbb{E}}_t{\beta }^2\frac{u^{\prime }(C_{t+2})}{u^{\prime }(C_t)}(D_{t+2}+P_{t+2})$$

数学归纳法得

$$P_t={\mathbb{E}}_t\sum _{k=1}^n{\beta }^k\frac{u^{\prime }(C_{t+k})}{u^{\prime }(C_t)}{D}_{t+k}+{\beta }^n{\mathbb{E}}_t\frac{u^{\prime }(C_{t+n})}{u^{\prime }(C_t)}{P}_{t+n}$$

对 $n$ 取极限

$$P_t={\mathbb{E}}_t\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^k\frac{u^{\prime }(C_{t+k})}{u^{\prime }(C_t)}{D}_{t+k}+\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\beta }^n{\mathbb{E}}_t\frac{u^{\prime }(C_{t+n})}{u^{\prime }(C_t)}{P}_{t+n}$$

因为 $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\beta }^n{\mathbb{E}}_t\frac{u^{\prime }(C_{t+n})}{u^{\prime }(C_t)}{P}_{t+n}=0$，所以有

$$P_t={\mathbb{E}}_t\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^k\frac{u^{\prime }(C_{t+k})}{u^{\prime }(C_t)}{D}_{t+k}$$

又因为 $M_{t,t+k}={\beta }^k\frac{u^{\prime }(C_{t+k})}{u^{\prime }(C_t)}$, 所以有

$$P_t={\mathbb{E}}_t\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_{t,t+k}{D}_{t+k}$$

（3） 若 $u(C_t)=\ln C_t$，代入 $C_t=D_t$，在 (2) 的情况下求解 $P_t$。

解：

$$u(C_t)=\ln C_t$$$$u^{\prime }(C_t)=\frac{1}{C_t}$$$$M_{t,t+k}={\beta }^k\frac{C_t}{C_{t+k}}={\beta }^k\frac{D_t}{D_{t+k}}$$$$P_t={\mathbb{E}}_t\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^k\frac{D_t}{D_{t+k}}{D}_{t+k}=\frac{\beta }{1-\beta }{D}_t$$

Example 3

题目描述类似于 1，一个代表性居民的效用函数如下

$${\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k}).$$

代表性企业的生产技术如下： $Y_t=Z_t{K}_t^{\alpha }{L}_t^{1-\alpha }$，劳动供给 $L_t\equiv 1$。此时中央计划者问题和其对应的值函数形式如下：

$$\begin{array}{rl}V(K_t,{\overline{Z}}_t)=\underset{C_{t+k}}{max}& {\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_{t+k})\\ & \text{s.t.}{K}_{t+1}=Z_t{K}_t^{\alpha }+(1-\delta )K_t-C_t\\ & Z_t={\overline{Z}}_t\end{array}$$

其中 $\{Z_t\}$ 是一个随机过程。

（1） 写出 $V(K_t,Z_t)$ 所要满足的方程。

解：

$$\begin{array}{rl}V(K_t,Z_t)=\underset{C_t,K_{t+1}}{max}& u(C_t)+\beta {\mathbb{E}}_{t}V(K_{t+1},Z_{t+1})\\ & \text{s.t.}{K}_{t+1}=Z_t{K}_t^{\alpha }+(1-\delta )K_t-C_t\end{array}$$

对应的无约束问题如下：

$$V(K_t,Z_t)=\underset{C_t,K_{t+1},{\lambda }_t}{max}u(C_t)+\beta {\mathbb{E}}_{t}V(K_{t+1},Z_{t+1})-{\lambda }_t[K_{t+1}-Z_t{K}_t^{\alpha }-(1-\delta )K_t+C_t]$$

（2） 对（1）中问题求一阶条件。

解：

对 $C_t$ 求导可得

$$\begin{array}{}\text{(1)}& u^{\prime }(C_t)={\lambda }_t\end{array}$$

对 $K_{t+1}$ 求导可得

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \beta {\mathbb{E}}_t\frac{\partial V}{\partial K}(K_{t+1},Z_{t+1})={\lambda }_t\end{array}$$

对 ${\lambda }_t$ 求导可得

$$K_{t+1}=Z_t{K}_t^{\alpha }+(1-\delta )K_t-C_t$$

（3） 对（1）中问题用包络定理。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{\partial V}{\partial K}(K_t,Z_t)={\lambda }_t[\alpha Z_t{K}_t^{\alpha -1}+(1-\delta )]\end{array}$$

（4） 获得 Euler 方程。

解：

将（3）后续一期得

$$\frac{\partial V}{\partial K}(K_{t+1},Z_{t+1})={\lambda }_{t+1}[\alpha Z_{t+1}{K}_{t+1}^{\alpha -1}+(1-\delta )]$$

代入 ${\lambda }_{t+1}=u^{\prime }(C_{t+1})$ 可得

$$\frac{\partial V}{\partial K}(K_{t+1},Z_{t+1})=u^{\prime }(C_{t+1})[\alpha Z_{t+1}{K}_{t+1}^{\alpha -1}+(1-\delta )]$$

之后代入（2）可得

$$\beta {\mathbb{E}}_t{u}^{\prime }(C_{t+1})[\alpha Z_{t+1}{K}_{t+1}^{\alpha -1}+(1-\delta )]={\lambda }_t$$

代入（1）可得

$$\begin{array}{}\text{(Euler Equation)}& \beta {\mathbb{E}}_t\frac{u^{\prime }(C_{t+1})}{u^{\prime }(C_t)}[\alpha Z_{t+1}{K}_{t+1}^{\alpha -1}+(1-\delta )]=1\end{array}$$

（5） 若有 $u(C_t)=\ln C_t$ 以及 $\delta =1$，求满足 Euler 方程的 $C_t$ 与 $K_{t+1}$。

$$u(C)=\ln C\Rightarrow u^{\prime }(C)=\frac{1}{C}$$

代入 Euler Equation 可得

$$\begin{array}{}\text{(A.1)}& {\mathbb{E}}_t\alpha \beta \frac{C_t}{C_{t+1}}{Z}_{t+1}{K}_{t+1}^{\alpha -1}=1\end{array}$$

结合

$$\begin{array}{}\text{(A.2)}& K_{t+1}=Z_t{K}_t^{\alpha }-C_t\end{array}$$

不妨猜 $C_t=\tilde{\theta }{Z}_t{K}_t^{\alpha }$，代入（A.1）中，类似 Example 1中的第 4 问，可得

$${\mathbb{E}}_t\alpha \beta \frac{Z_t{K}_t^{\alpha }}{K_{t+1}}=1$$

代入 $K_{t+1}=(1-\tilde{\theta })Z_t{K}_t^{\alpha }$，可得

$$C_t=(1-\alpha \beta )Z_t{K}_t^{\alpha }$$$$K_{t+1}=\alpha \beta Z_t{K}_t^{\alpha }$$

（6） 在（5）问下，若有 $Z_t$ 仅可取高技术 $Z_H$ 或低技术 $Z_L$，满足

$$\begin{gathered} \text{Pr}\{Z_{t+1}=Z_H|Z_t=Z_L\}=\pi \\ \text{Pr}\{Z_{t+1}=Z_H|Z_t=Z_H\}=1-\pi \\ \text{Pr}\{Z_{t+1}=Z_L|Z_t=Z_L\}=1-\pi \\ \text{Pr}\{Z_{t+1}=Z_L|Z_t=Z_H\}=\pi \end{gathered}$$

写出此时的值函数表示。

解：

因 $C_t=(1-\alpha \beta )Z_t{K}_t^{\alpha }$，从而有

$$V(Z_t,K_t)=u(C_t)+\beta {\mathbb{E}}_{t}V(K_{t+1},Z_{t+1})$$$$V(Z_H,K_t)=\ln Z_H+\alpha \ln K_t+\ln (1-\alpha \beta )+\beta \{\pi V(Z_L,K_{t+1})+(1-\pi )V(Z_H,K_{t+1})\}$$$$V(Z_L,K_t)=\ln Z_L+\alpha \ln K_t+\ln (1-\alpha \beta )+\beta \{\pi V(Z_H,K_{t+1})+(1-\pi )V(Z_L,K_{t+1})\}$$

不妨猜

$$V(Z_H,K_t)=\tilde{\alpha }\ln K_t+\ln Z_H+C_H$$$$V(Z_L,K_t)=\tilde{\alpha }\ln K_t+\ln Z_L+C_L$$

代入之后对比各项系数可得

$$\tilde{\alpha }=\frac{\alpha }{1-\alpha \beta }$$$$C_H=\frac{1}{1-\beta }(\ln (1-\alpha \beta )+\tilde{\alpha }\beta \ln \alpha \beta )+\frac{\beta \{[(1-\beta (1-\pi )]\tilde{\alpha }+1-\pi -\beta +2\pi \beta \}\ln Z_H+\beta \pi (1+\tilde{\alpha }\beta )\ln Z_L}{(1-\beta +2\pi \beta )(1-\beta )}$$$$C_L=\frac{1}{1-\beta }(\ln (1-\alpha \beta )+\tilde{\alpha }\beta \ln \alpha \beta )+\frac{\beta \pi (1+\tilde{\alpha }\beta )\ln Z_H+\beta \{[(1-\beta (1-\pi )]\tilde{\alpha }+1-\pi -\beta +2\pi \beta \}\ln Z_L}{(1-\beta +2\pi \beta )(1-\beta )}$$

对数线性化

公式

对变量 $X_t$，有 ${\hat{x}}_t=\frac{X_t-X^{\ast }}{X^{\ast }}=\ln X_t-\ln X^{\ast }=d\ln X_t$

如下公式要记：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& X_t+Y_t=Z_t\Rightarrow {\hat{x}}_t\frac{X^{\ast }}{X^{\ast }+Y^{\ast }}+{\hat{y}}_t\frac{Y^{\ast }}{X^{\ast }+Y^{\ast }}={\hat{z}}_t\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(2)}& X_t{Y}_t=Z_t\Rightarrow {\hat{x}}_t+{\hat{y}}_t={\hat{z}}_t\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(3)}& X_t/Y_t=Z_t\Rightarrow {\hat{x}}_t-{\hat{y}}_t={\hat{z}}_t\end{array}$$$$\begin{array}{}\text{(4)}& X_t-Y_t=Z_t\Rightarrow {\hat{x}}_t\frac{X^{\ast }}{Z^{\ast }}-{\hat{y}}_t\frac{Y^{\ast }}{Z^{\ast }}={\hat{z}}_t\end{array}$$

Example 4

已知 $X_t$ 对应的稳态为 $X^{\ast }$，且 ${\hat{x}}_t=\frac{X_t-X^{\ast }}{X^{\ast }}=\ln X_t-\ln X^{\ast }=d\ln X_t$，求其对数线性化。

解：

$$Y_t=C_t+I_t\Rightarrow {\hat{y}}_t=\frac{C^{\ast }}{C^{\ast }+I^{\ast }}{\hat{c}}_t+\frac{I^{\ast }}{C^{\ast }+I^{\ast }}{\hat{i}}_t$$$$K_{t+1}=Z_t{K}_t^{\alpha }+(1-\delta )K_t-C_t\Rightarrow {\hat{k}}_{t+1}=\frac{Z^{\ast }(K^{\ast }{)}^{\alpha }}{K^{\ast }}({\hat{z}}_t+\alpha {\hat{k}}_t)+(1-\delta )\frac{K^{\ast }}{K^{\ast }}{\hat{k}}_t-\frac{C^{\ast }}{K^{\ast }}{\hat{c}}_t$$$${\mathbb{E}}_t\beta {\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)}^{-\sigma }{R}_{t+1}=1\Rightarrow {\mathbb{E}}_t{\hat{r}}_{t+1}-\sigma {\mathbb{E}}_t{\hat{c}}_{t+1}+\sigma {\hat{c}}_t=0$$$$\frac{W_t}{P_t}=C_t^{\sigma }{N}_t^{\varphi }\Rightarrow {\hat{w}}_t-{\hat{p}}_t=\sigma {\hat{c}}_t+\varphi {\hat{n}}_t$$

线性差分方程

Example

若

$$\{\begin{array}{l}{\hat{x}}_{t+1}={\lambda }_1{\hat{x}}_t+{\epsilon }_t\\ {\mathbb{E}}_t{\hat{y}}_{t+1}={\lambda }_2{\hat{y}}_t+{\xi }_t\end{array}$$

（1） 若

$$\{\begin{array}{l}{\hat{x}}_{t+1}={\lambda }_1{\hat{x}}_t+{\epsilon }_t\Rightarrow {\hat{x}}_{t+1}\\ {\hat{x}}_t={\lambda }_1{\hat{x}}_{t-1}+{\epsilon }_{t-1}\end{array}={\epsilon }_t+{\lambda }_1{\epsilon }_{t-1}+{\lambda }_1^2{\hat{x}}_{t-1}$$$${\hat{x}}_t={\epsilon }_{t-1}+{\lambda }_1{\epsilon }_{t-2}+{\lambda }_1^2{\epsilon }_{t-3}+{\lambda }_1^3{\epsilon }_{t-4}+{\lambda }_1^4{\epsilon }_{t-5}+\cdots +{\lambda }_1^n{\epsilon }_{t-n-1}+{\lambda }_1^{n+1}{\hat{x}}_{t-n-1}$$

从而有

$${\hat{x}}_t\stackrel{\mathrm{△}}{=}\sum _{k=1}^t{\lambda }_1^{k-1}{\epsilon }_{t-k}+{\lambda }_1^t{\hat{x}}_0$$

若 $|{\lambda }_1|>1$，则 $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\hat{x}}_t$ 容易不存在。

$|{\lambda }_1|<1$ 时，${\hat{x}}_t\stackrel{\mathrm{△}}{=}\sum _{k=1}^t{\lambda }_1^{k-1}{\epsilon }_{t-k}+{\lambda }_1^t{\hat{x}}_0$

这个解被称为后向解。

（2）

$${\hat{y}}_t=\frac{1}{{\lambda }_2}{\mathbb{E}}_t{\hat{y}}_{t+1}-{\frac{1}{\lambda }}_2{\xi }_t$$

代入 ${\hat{y}}_{t+1}=\frac{1}{{\lambda }_2}{\mathbb{E}}_{t+1}{\hat{y}}_{t+2}-\frac{1}{{\lambda }_2}{\xi }_{t+1}^2$ 可得

$${\hat{y}}_t=-\frac{1}{{\lambda }_2}{\xi }_t-\frac{1}{{\lambda }_2^2}{\xi }_{t+1}+\frac{1}{{\lambda }_2^2}{\mathbb{E}}_t{\hat{y}}_{t+2}$$

数学归纳法

$${\hat{y}}_t=-\sum _{k=1}^n(\frac{1}{{\lambda }_2}{)}^k{\xi }_{t+k-1}+(\frac{1}{{\lambda }_2}{)}^n{\mathbb{E}}_t{\hat{y}}_{t+n}$$

若 $|1/{\lambda }_2|>1$ 即 $|{\lambda }_2|<1$，则对 $n$ 取极限可得

$${\hat{y}}_t=-\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}(\frac{1}{{\lambda }_2}{)}^k{\xi }_{t+k-1}+\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{{\lambda }_2}{)}^n{\mathbb{E}}_t{\hat{y}}_{t+n}$$

因此要求 $|{\lambda }_2|>1$，可得

$${\hat{y}}_t=-\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}(\frac{1}{{\lambda }_2}{)}^k{\xi }_{t+k-1}$$

该解称为前向解。

名词解释

1. 当居民效用为 ${\mathbb{E}}_t\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\beta }^{k}u(C_t)$ 时，问随机贴现因子为何？
2. 包络定理
   • 解释：令
   $$\begin{array}{rl}V(a_1,\dots ,a_n)=\underset{x_1,\dots ,x_n}{max}& f(x_1,\dots ,x_n,a_1,\dots ,a_n)\\ & \text{s.t.}G(x_1,\dots ,x_n,a_1,\dots ,a_n)=0\end{array}$$$$\mathcal{L}=f(x_1,\dots ,x_n,a_1,\dots ,a_n)-\lambda G(x_1,\dots ,x_n,a_1,\dots ,a_n)$$$$\frac{\partial V}{\partial G_k}=\frac{\partial L}{\partial G_k}=\frac{\partial f}{\partial G_k}-\lambda \frac{\partial G}{\partial G_k}$$
3. 一阶线性差分方程的前向解、后向解
4. 中央计划者问题、分散经济
5. First best problem、Second best problem